Buckingham Pi

EP-17 : Buckingham Pi

ก่อนที่เราจะมาดูวิธีการใช้ Buckingham Pi ซึ่งเป็นวิธียอดนิยมในการวิเคราะห์เชิงมิติ (Dimensional Analysis) ก็คงต้องมาทบทวนหลักการทั่วไปกันสักเล็กน้อยครับ ซึ่งผมคิดว่าหลายท่านคงทราบกันดีอยู่แล้ว, และจากนั้นเราจะมาดูการวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับงานด้าน Agitator กันครับ

วิธี Buckingham Pi
ในการวิเคราะห์ปัญหาขั้นแรกต้องกำหนดตัวแปรที่เกี่ยวข้อง (ทั้งหมดที่จะคิดออก)ให้เป็น จํานวน n และ กำหนดมีจํานวน m มิติ คือ M-L-T เพื่อหาความสัมพันธ์ของตัวแปรเหล่านั้นในรูปของ primary dimensions

(1). แจกแจงตัวแปรทุกตัวที่เกี่ยวข?องกับสิ่งที่เรากําลังพิจารณา, พร้อมทั้งเขียนมิติของตัวแปรทุกตัว (X1, X2, X3,....Xn) ให้อยู่ในรูปของ primary dimensions (M-L-T)
(2). เขียนความสัมพันธ?ของตัวแปรเหล่านั้นในรูปของฟังก์ชั่น F(X1, X2, X3,...,Xn) = 0
(3). กำหนดจํานวนสมการ Pi ที่พิจารณามีเท่ากับ n-m สมการ โดย n คือ จำนวนตัวแปร และ m คือ จำนวน Dimension
(4). เลือกตัวแปรซ้ำ กำหนดให้ตัวแปรซ้ำมีจำนวนเท่ากับจำนวนของ primary dimensions
(5). กำหนด Pi.1, Pi.2, Pi3,...,Pi.n-m เป็นเทอมไร้มิติที่เกิดจากการรวมกลุ่มของตัวแปรที่กำหนดไว้ และ เขียนความสัมพันธ์ในรูปของ f(Pi.1, Pi.2, Pi.3,...,Pi.n-m) = 0
(6). Pi เทอมแรกจะเท่ากับผลคูณของตัวแปรซ้ำกับตัวแปรใดๆอีกหนึ่งตัวที่เหลือที่ไม่ใช่ตัวแปรซ้ำ และ เทอมต่อไปก็เช่นกัน
(7). Pi เทอมแรก มีดัชนีไม่ทราบค่าเป็น a1, a2, a3 (กรณีมีตัวแปรซ้ำ 3 ตัว) ส่วนอีกตัวแปรจะมีเลขดัชนีเท่ากับ 1, และ จะทำลักษณะเช่นนี้จนครบทุกเทอมของจำนวน Pi
(8). แก้สมการหาค่าดัชนีไม่ทราบค่าทั้งหมด
(9). จัดรูปของ Pi แต่ละเทอมให้อยู่ในรูปง่ายๆ และ อาจจะรวม Pi บางเทอมเข้าดด้วยกัน และ จากนั้นคำตอบที่ได้จะสามารถบอกได้ว่า.... สิ่งที่เราต้องการวิเคราะห์นั้นเป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรใดบ้างอย่างไร

เรามาดูตัวอย่างกันครับ
เราจะใช้การวิเคราะห์เชิงมิติ โดยวิธี Buckingham Pi หาความสัมพันธ์ว่าอะไรเป็นฟังก์ชั่นของอะไรบ้างอย่างไร, โดยการมองรูปแบบของอัตราการไหลผ่านใบกวน แบบชั้นเดียว ใบกวนประเภท 6-Blades Trubine Impeller

จากสิ่งที่ต้องการวิเคราะห์เราจะได้ว่า อัตราการไหลผ่านใบกวนในถังขึ้นอยู่กับ, เส้นผ่านศูนย์กลางใบกวน(D), ค่าความหนืด(v), ความสูงของระดับของเหลวในถัง(L), และ การสูญเสียความดัน Delta.P (ลองเอามาพิจารณาดูก็ดีครับ)

(1). Q = L^3L^-1 , D = L , v = ML^-1T^-1 , L = L , Delta.P = ML^-1T^-2
(2). F(Q,D,v,L,Delta.P) = 0
(3). กำหนดจำนวนสมการ Pi ได้ 2 สมการ จาก ตัวแปร 5 ตัว และ มิติ 3 ตัว
(4). เลือก Q, D, และ v เป็นตัวแปรซ้ำ (เท่ากับจำนวนมิติ)
(5).(6).(7). ได้เป็น Pi.1 = Q.^a1 x D.^a2 x v.^a3 x Delta.P
(8). เขียนในรูปของ primary dimensions ได้เป็น (MLT)^0 = (L^3L^-1)^a1 x (L)^a2 x (ML^-1T^-1)^a3 x (ML^-1T^-2)
ได้ค่า a1=-1, a2=3, a3=-1
ได้ Pi.1 = (D^3 x Delta.P) / (Qxv)
ทำต่อด้วยวิธีเดียวกันจะได้ Pi.2 = DL
(9). จะได้ความสัมพันธ์ Q = ((D^3xDelta.P)/v) x f1(DL)

อย่างที่เคยกล่าวไปแล้วครับว่า เราจะใช้ Dimensional Analysis ในการดูทิศทางลมเพื่อหาความสัมพันธ์ในการวิเคราะห์ ถ้าอย่างนั้น ถ้าอย่างนี้ ตัวนี้เพิ่ม ตัวนี้ลด ตัวไหนส่งผลกับตัวไหน แค่นั้นพอ, จากที่กล่าวมาข้างต้น เป็นการวิเคราะห์ อัตราการไหลผ่านใบกวน 6-Blades Turbine จะเห็นว่าตัวที่ส่งผลต่ออัตราการไหล (Flow Rate)มากที่สุดคือ D คือ Diameter of Impeller รองลงมา คือ Viscosity ซึ่งเปรียบเสมือนแรงเสียดทานการไหลอยู่แล้ว, สิ่งสำคัญที่ผมจะชี้ให้เห็นก็คือว่า หากเราตัด Viscosity ออกละได้มั้ย คำตอบคือได้ครับ เพราะ Viscosity มีค่าคงที่ (เหมือนที่เราชอบตัด Density ออกในการวิเคราะห์ปัญหาโดยใช้ CFD ไงละครับ เพื่อความง่ายของการวิเคราะห์ และ เพื่อการหาคำตอบที่ได้ผลชัดเจนไม่ซับซ้อน)

จำนวนใบครีบกวน, ขนาดหน้าตัด และ ชนิดของใบกวน ล้วนแล้วแต่มีผลต่อ Flow Rate ในทางปฏิษัติทั้งสิ้น และ มีผลมากๆด้วยซ้ำ เราต้องระวังครับ ไม่ใช่วิเคราะห์เส้นผ่านศูนย์กลางแล้วจบ ยังมี Dimension อื่นที่มีผลอีก อย่างน้อยก็ 3 ตัวที่บอกไป, การทำงาน Agitator จริงๆ ถึงต้องใช้ทั้งการวิเคราะห์ที่เป็นระบบตามหลักการวิชาการ และ ประสบการณ์ ควบคู่กันไงละครับ

ทิ้งท้ายด้วยคำพูดที่ว่า...การเก่งวิชาการมีจุดสิ้นสุดครับ หากรู้หมดคือหมด..แต่ประสบการณ์ไม่มีวันหมดครับ ยิ่งรู้เยอะ ผ่านมาเยอะยิ่งเข้าใจอะไรได้เยอะกว่าเป็นธรรมดา...อย่าหลงไหลกับวิชาการ จนลืมหาประสบการณ์เข้าตัวนะครับ สำคัญที่สุดแล้ว

 

Cr. สถาพร เลี้ยงศิริกูล
Tel : 091.7400.555
Line : sataporn.miscible
Miscible Technology Co.,Ltd.